Question

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为1/2,且经过点M(1,3/2).(1)求椭圆C的方程;

(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足向量PA·向量PB=向量PM^2?若存在,求出直线l1的方程,若不存在,请说明理由

Answer 1

解:(1)设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b,a^2-b^2=c^2,c>0)
由题意c/a=1/2
1/a^2+(9/4)/(a^2-c^2)=1,
联立两方程得a^2=4,b^2=3
所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1
(2)由图形可知直线l1必然存在斜率,所以设l1:k(x-2)=y-1
联立l1方程与(1)中椭圆方程,得(4k^2+3)x^2+8k(1-2k)x+16k^2-16k-8=0 ..........(*)
(利用(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc可提加速度)
假设存在这样的直线l1
设A(x1,k(x1-2)+1) , B(x2,k(x2-2)+1)
向量PA=(x1-2,k(x1-2)) , 向量PB=(x2-2,k(x2-2))
向量PA·向量PB=(1+k^2)(x1x2-2(x1+x2)+4)=4(1+k^2)/(4k^2+3) (韦达定理,别告诉我你不知道这个)
向量PM=(-1,1/2),所以向量PM^2=5/4
所以由题意可得k^2=1/4
由(*)的判别式,舍去k=-1/2的根,所以k=1/2
所以l1:1/2(x-2)=y-1<=>x-2y=0
吐血运算,望采纳.

Answer 2

设椭圆基本方程，2c=a，4c