Question

已知函数f(n)=sinnπ／4，∈Z.求证(1).f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16) (2).求f（1）+f(2)+.…2007

Answer 1

sinnπ／4
周期为2π/(π/4)=8
对于任何n，都有
f(n)=f(n+8)
f(1)=f(9)
f(2)=f(10)
....f(8)=f(16)
则
f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)

2)正弦函数性质，每半个周期，f值会变成相反数
f(n)=-f(n+4)
所以
f(1)+f(5)+....f(2005) ,这里x值成等比数列，公差4，共502项，偶数个项,根据上述性质全部抵消为0
f(2)+f(6)+....f(2006),同理=0
f(3)+f(7)+...f(2007)同理=0
最后还剩 f(4)+...f(2004)，有501项，后面500项抵消
最后得到f(4)=sinπ=0

Answer 2

f(1)=sinπ/4 f(9)=sin9π/4=sinπ/4 所以f(1)=f(9)

同理f(2）=f(10) …

所以f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)

由1知，函数的周期是8

f(1)+f(2)+…+f(8)=sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4+sin8π/4=0

f(1)+f(2)+…+f(7)=sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4=0

f(1)+f(2)+…+f(2007)=

250x[f(1)+f(2)+…+f(8)]+sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4

=250x0+0=0

Answer 3

f(n)=sinnπ／4的周期为8
（1）
f(1)=f(9)
......
f(8)=f(16)
相加即可
(2)
f（1）+f(2)+.…+f（2007）+f（2008）-f（2008）
=251【f(1)+f(2)+…+f(8)】）-f（2008）
=251*0-f（2008）
=-f（2008）
=-f（0）
=0

Answer 4

pai=n
1' 欲证原命题，只需证f(1)=f(9),f(2)=f(10)…f(8)=f(16),
从而只需证f(a)=f(a＋8k),k属于整数
即证sin(an/4)=sin((a＋8k)n/4)＝sin(an/4＋2kn),k属于整数
这显然成立，故原命题成立
2' 2007 8
∑f(i)=251∑f(i)－f(8)
i=1 i=1
又8
∑f(i)=0,f(8)=0
i=1
所以原式＝0

Answer 5

0