Question

已知x=a是函数f(x)=1/4x^4+1/3ax^3-1/2(a+b)x^2+a^4-2a^2+a+b(a>0)的一个极值点

若函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=x^3+ax^2-(a+b)x
f'(a)=0=>2a^2-a-b=0 =>b=2a^2-a
f(x)=1/4x^4+1/3ax^3-a^2x^2+a^4
根据f(x)的表达式，可知0和-2a为另外两个极值点。f'(0)=0,f'(-2a)=0
f(0)=a^4 f(a)=7a^4/12 f(-2a)=-5a^4/3
f(0)>f(a)>f(-2a) => f(0)是局部最大值。另外两个是局部最小值。
函数在x=0处开口向下，x=a,-2a处开口向上。
显然，当x<-2a时，函数与y=1必然有一个交点。
当f(0)>1, f(a)>1时，函数与y=1有2个交点，分别在(负无穷,-2a)(-2a,0) =>7a^4/12>1 =>a>(12/7)^(0.25)
当f(0)>1, f(a)=1时，函数与y=1有3个交点，分别在(负无穷,-2a)(-2a,0),a
当f(0)>1, f(a)<1时，函数与y=1有4个交点，分别在(负无穷,-2a)(-2a,0)(0,a)(a,正无穷)
当f(0)=1, f(a)<1时，函数与y=1有3个交点，分别在(负无穷,-2a), 0, (a,正无穷)
当f(0)<1, f(a)<1时，函数与y=1有2个交点，分别在(负无穷,-2a), (a,正无穷) =>0<a<1
所以
0<a<1或者a>(12/7)^0.25