Question

设PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都等于60度，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（ ）

设PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都等于60度，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（      ）答案为√3/3详细解答，谢谢！

Answer 1

在射线PA、PB、PC上各取一点E、F、G，使PE＝PF＝PG。
∵∠EPF＝∠FPG＝∠EPG＝60°，∴△PEF、△PFG、△PEG为全等的正三角形，
∴EF＝FG＝EG＝PE，∴P－EFG是正四面体。

取EF的中点为H，容易知道：PH⊥EF、GH⊥EF，∴G在平面PEF上的射影必在PH上，
∴∠GPH就是PG与平面PEF所成的角，也就是PC与平面APB所成的角。

容易算出：PH＝GH＝√3PG/2。由余弦定理，有：
cos∠CPH＝（PG^2＋PH^2－GH^2）/（2PG×PH）＝PG^2/［2PG（√3PG/2）］＝√3/3。
即：PC与平面APB所成角的余弦值为√3/3。