Question

奥数题，高手来

已知x，y属于正实数。求证x的y次方+y的x次方大于1

Answer 1

x的y次方+y的x次方表示成x^y+y^x
若x,y中有一个大于等于1，则显然，否则，x<1,y<1
先把x看成未知数，y看成常数，我们求x^y+y^x的极值，若极值大于1，则其一定大于1
求导，得到极值点满足y*x^(y-1)+y^x*lny=0
代入x^y+y^x得到 -x*y^(x-1)*lny+y^x，即y^x-y^(x-1)*ln(y^x)
要证这个式子大于1，注意到由x<1,y<1的假设，y^(x-1)>1
再假设y^x<1（否则就不用证了），那么ln(y^x)<0，
放缩掉y^(x-1)后只用证y^x-ln(y^x)>=1即可
令t=y^x，0<t<=1
对t-lnt求导，是1-1/t，在t=1处取极小值，此时t-lnt=1
从而y^x-ln(y^x)>=1
也就是y^x+x^y>1

追问

再假设y^x<1，这样可以吗。怎么感觉怪怪的。

追答

不然的话y^x>=1,x^y>0,那x^y+y^x>1，就不用证了啊

Answer 2

你那X次方是Y+Y的，还是单独后面那个Y的？

追问

单独的，都是单独的

追答

...懂了，刚看错了

Answer 3

额，求证很麻烦，输入更麻烦，你最好给点悬赏分才好啊~

追问

我只剩10分了，还想问个更难的啊

Answer 4

如果是此方的话 那x y都是整数啊
又因为是正的 那么X Y最小都是1呗
那还不明白吗

追问

麻烦看清楚题吧。谁说x，y都必须是整数了
噢，你认为次方就必须是整数啊。没有的事。这是你的误区