Question

已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时，恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)）

又数列{an}满足a1=1/2，an+1=(2an)/(1+an^2).设bn=1/f(a1)+.....1/f(an)。求f（an）的表达式
是否存在正整数m，使得对任意n属于N，都有bn小于（m－8）／4成立，若存在，求出m最小值；若不存在，说明理由

Answer 1

对于f(x) - f(y) = f((x-y)/(1-xy))
代入y = x可得 f(0) = 0
代入x = 0可得 f(-y) = -f(y) （因此是奇函数）
代入y = x可得2f(x) = f(x) - f(-x) = f(2x/(1+x^2))发现和a_n递推一样
因此f(a_n+1) = 2f(a_n)等比，首项f(a_1) = -1，通项f(a_n) = -2^(n-1)
b_n（等比求和）= 1/(2^(n-1)) - 2
这里很奇怪，是个递减数列，居然要求b_n最大值，楼主你确定f(1/2) = -1而不是1么。。。囧
如果楼主没有记错，b_n最大值必然是b_1 = -1然后要 -1<(m-8)/4，m>4没有最小值。。。
如果记错了是1的话f(a_n) = 2^(n-1)，b_n = 2 - 1/(2^(n-1))最大值2且取不到
因此2<=(m-8)/4，m最小值16

Answer 2

。。。。。