Question

高三一道数学题~在线等

设2/3<a<1,函数f(x)=x^3-(3/2)ax^2+b,x∈[-1,1],其最大值为1，最小值为(-√（6）/2),求常数a,b

Answer 1

函数的导数f’（X）=3x²-3ax
当X＞0时，f‘（x）＞0的解为a＜x≤1，f‘（x）＜0的解为0＜x＜a
当X＜0时，f’（x) ＞0的解为-1≤x＜0，f’（x）＜0的解为x＞a所以无解
那么f（x）在｛-1，0）和（a，1｝上递增 在（0，a）上递减 则最小值为f（-1）或者f（a） 最大值为f（0）或者f（1）
f（-1）=b-1-(3/2)a....................①
f(a)==b-(1/2)a³.........................②
f（0）=b.....................................③
f（1）=b+1-（3/2）a................④
联合①③解得a=√（6）/3 b=1 符合 2/3＜a＜1
联合①④解得b=(√（6）/2)-1 a=√（6）/3 －2/3 不符合2/3＜a＜1 舍去
联合②③解得a²=2+√（6） 不符合2/3＜a＜1 舍去
联合②④解得a²-3a=√（6），因为2/3＜a＜1 所以a²-3a＜0 所以不符合，舍去
所以a=√（6）/3 b=1

Answer 2

f(x)=(x-3a/2)x^2+b
因为2/3<a<1
所以1<3a/2<3/2
因为x∈[-1,1]
所以x-3a/2<0
因为x^2>=0
所以(x-3a/2)x^2<=0
所以当x=0时，f(x)max=b=1
f(x)=x^3-(3/2)ax^2+1
当x=-1时
x^3、-(3/2)ax^2都最小
f(x)min=-1-(3/2)a+1=-(√6)/2
-(3/2)a=-(√6)/2
a=(√6)/3
所以a=(√6)/3,b=1

Answer 3

先求导，为3x^2-3ax,所以f(x)在（-1,0）增（0，a）减，（a，1）增！
所以在0或1处取最大！所以b=1或（3/2）a
在-1或a处取最小！得到等式（太麻烦了……）将b=1或（3/2）a带入！
又因为2/3<a<1，得a=,√（6）/3，b=1