Question

函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则

A f(x)是偶函数B f(x)是奇C f(x)=f(x+2)D f(x+3)为奇

Answer 1

f(x＋1)是奇函数，则f(－x＋1)=－f(x＋1)
f(x－1)是奇函数，则f(－x－1)=－f(x－1) ==>>> f[－(x＋2)－1]=－f[(x＋2)－1]=－f(x＋1)
则：f(－x＋1)=f[－(x＋2)－1]=f(－x－3) ==>>> f(－x＋1)=f(－x－3) ===>>> f(x＋1)=f(x－3)
则f(x)是以4为周期的函数，即：f(x)=f(x＋4)
又：f(－x＋1)=－f(x＋1) ===>>> f[－(x＋4)＋1]=－f[(x＋4)＋1]　==>>> f(－x－3)=－f(x＋5)
f(x＋5)=f(x－3)
所以：f(－x－3)=－f(x－3)，即：f(x＋3)是奇函数。
本题选D

Answer 2

若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，说明函数f(x)左移或右移一个单位都是奇函数，f(x+1)与f(x-1)均过原点，这说明函数f(x)是周期为4的函数，且f(x+1)与f(x-1)一个在原点附近是增函数，一个是减函数，故f(x)是偶函数

Answer 3

在C中， f(x)=f(x+2)，用x+2代替x得到f(x+2)=f(x+4)=f(x)，也就是上面这个式子！
这一步有问题，推不出来。。。正确详见楼上的！

Answer 4

33333333333333333333333333333333333

Answer 5

f(x＋1)是奇函数，则f(－x＋1)=－f(x＋1)
f(x－1)是奇函数，则f(－x－1)=－f(x－1) ==>>> f[－(x＋2)－1]=－f[(x＋2)－1]=－f(x＋1)
则：f(－x＋1)=f[－(x＋2)－1]=f(－x－3) ==>>> f(－x＋1)=f(－x－3) ===>>> f(x＋1)=f(x－3)
则f(x)是以4为周期的函数，即：f(x)=f(x＋4)
又：f(－x＋1)=－f(x＋1) ===>>> f[－(x＋4)＋1]=－f[(x＋4)＋1]　==>>> f(－x－3)=－f(x＋5)
f(x＋5)=f(x－3）
故得答案