Question

已知三角形ABC中,角ABC的对边分别为abc且2(a^2+b^2-c^2)=3ab 若c=2,求三角形ABC面积最大值

Answer 1

由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 可得 a^2+b^2-c^2=2ab*CosC
因为 2(a^2+b^2-c^2)=3ab 可得 a^2+b^2-c^2 = 3ab/2
由以上两步可得 CosC = 3/4
根据 (SinC)^2+(CosC)^2=1 可求得 SinC = sqrt(7)/4 注：sqrt(a)为a的平方根
三角形的面积为 (ab*SinC)/2 = ab*sqrt(7)/8
求三角形面积的最大值，即求ab的最大值。
因为2(a^2+b^2-c^2)=3ab且c=2，代入并化简可得a^2+b^2-4=3ab/2
进一步整理a^2+b^2+2ab=4+7ab/2，即(a+b)^2=4+7ab/2
根据不等式sqrt(ab)<=(a+b)/2可得ab<=((a+b)^2)/4=1+7ab/8
化简得ab<=8，所以ab的最大值为8
由此得三角形面积的最大值为8*sqrt(7)/8=sqrt(7)
三角形面积最大时a=b=2*sqrt(2)