Question

三角形ABC中,内角A B C的对边分别为a b c,已知a b c成等比数列,cosB=3/4 (1)求1/tanA+1/tanc的值

Answer 1

已知a.b.c成等比数列
所以a*c=b^2
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以有sinA* sinC= sin^2B。
又因为cosB=3/4 sin^2 B+cos^2 B=1
sinB=√7/4
1/tanA+1/tanc=cosA/sinA+cosC/sinC
=(cosA*sinC+sinA*cosC)/(sinA*sinC)
=sin(A+C)/[ sin^2B]
=sinB/[ sin^2B]
=1/sinB
=4/(√7)=4√7/7.

Answer 2

1/tanA+1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/(sinAsinC)=sin(C+A)/(sinAsinC)
因为A、B、C为三角形内角，所以A+B+C=180°，A+C=180°-B，则sin(C+A)=sinB
又a 、b 、c成等比数列，故b^2=ac
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC，于是sinA=(asinB)/b，sinC=(csinB)/b，故
sinAsinC=[(asinB)*(csinB)]/(b^2)=sin^2 B
因此1/tanA+1/tanC=sin(C+A)/(sinAsinC)=1/sinB
由cosB=3/4得sinB=√7/4，进而1/tanA+1/tanC=4√7/7