Question

数学题 如图 在三角形ABC中 角BAC=90度 AB=AC P为BC上一点 求证：PB方＋PC方＝2PA方

Answer 1

不知道你有没有学习余弦定理:
COSB=COSC=根号2/2
把上面等式按余弦定理写出来,然后左边两个分子分母对应相加,得到一个分子式仍然等于根号2/2
再化简一下 就会出来的 化简得到AB²+AC²+PB²+PC²-2PA²=根号2*AB*BC
AB²+AC²=2AB²=2*AB*AB=根号2*BC*AB
得证!
如果没学,也可以利用反证法:
假设结论不成立
P为任意一点,可取P为BC的中点,利用勾股定理或者三角函数,都能够得到假设不成立,因而元结论成立

Answer 2

证：依题意得：
BC=根号2×BC
BC=AB
∴∠ABC=∠ACB=45°
在三角形ABP中
PA²=AB²+PB²-·cos∠ABC①
在三角形ACP中
PA²=AC²+PC²-·cos∠ACB②
∴①+②得出
2PA²=AB²+AC²+PB²+PC²-根号2·AB·PB-根号2·AC·PC
=PB²+PC²+BC²-根号2·AB·﹙PB+PC)
=PB²+PC²+BC²-BC·BC
=PB²+PC²