Question

已知函数f(x)=(x+1)分之(2x+1). (1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论

已知函数f(x)=(x+1)分之(2x+1).
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.

Answer 1

解：1)f(x)=(2x+1)/(x+1)=2-1/(x+1)
在[1，﹢∞)上式单调递增函数
对任意x2>x1>=1
f(x2)-f(x1)=1/(x1+1)-1/(x2+1)=(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]>0
f(x2)>f(x1)

2)在区间[1,4]的最大值是f(4)=2-1/(4+1)=9/5
最小值是f(1)=2-1/(1+1)=3/2

Answer 2

1.。f'(x)={(x+1)(2x+1)'-(2x+1)(x+1)'}/(x+1)²=(2x+2-2x-1)/(x+1)²=1/(x+1)²恒大于0
在[1,正无穷]为递增函数
证明；
设1≤x1＜x2
f（x2）-f（x1）=（2x2+1）/(x2+1)-（2x1+1）/（x1+1）
化简得=(x2-x1）/(x2+1)(x1+1)
因为x2＞x1≥1
得f（x2）-f（x1）＞0
则递增
2因为递增
即在1处取最小值f（1）=3/2
在4处取最大值f（4）=9/5