Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n，若{bn}=iog2(an+2),tn为数列{bn/an+2}的前n项和，求证Tn≥1/2

速求~~~~

Answer 1

依题意，得
a1=2a1+2, 所以a1=2
S(n-1)=2a(n-1)-2n
所以an=Sn-S(n-1)=2an-2n-[2a(n-1)-2n]
化简，得2a(n-1)+2=an
设2an-1+2+k=an+k，所以2+k=2k,得k=2
所以2a(n-1)+4=an+2
an+2/[a(n-1)+2]=2
所以{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列, an+2=4*2^(n-1)=2^(n+1) (n∈N*)
所以bn=n+1(n∈N*)
所以Tn=2/2^2+……+(n+1)/2^(n+1) (n∈N*)
又因为当n=1时，Tn有最小值
此时Tn=2/2^2=1/2
所以Tn≥1/2恒成立

Answer 2

解：依题意，得：a1=2a1+2, ，
所以：a1=2，
S(n-1)=2a(n-1)-2n，

所以an=Sn-S(n-1)=2an-2n-[2a(n-1)-2n]
化简，得：2a(n-1)+2=an

设2an-1+2+k=an+k，
所以2+k=2k,得：k=2
2a(n-1)+4=an+2
an+2/[a(n-1)+2]=2
数列{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列,
an+2=4*2^(n-1)=2^(n+1) (n∈N*)
bn=n+1(n∈N*)
所以Tn=2/2^2+……+(n+1)/2^(n+1) (n∈N*)
又因为当n=1时，Tn有最小值，
此时：Tn=2/2^2=1/2，
所以Tn≥1/2恒成立。