Question

已知函数f(x)=|x^2-2x-3|有下列命题：（1）f（x)是偶函数（2）f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为3

（3）f(x)在（1，正无穷）上是增函数（4）f(x)有最大值4.其中正确命题的序号为——（请写明原因，谢谢）

Answer 1

正确的命题只有（2）

详解：
（1）∵函数f(x)=|x^2-2x-3的对称轴为直线 x=1≠0，即f（x)不关于y轴对称
∴命题“f(x)是偶函数”为假命题
ps:如果这项在选择题或者填空题上，不必花功夫证明f(x)=f(-x)，利用奇偶函数的性质可以很快得出答案。

（2）反证法：
若f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为3，则设f(x)的图像与y轴的交点为（3，y）
代入f(x)得：
f(3)=|9-6-3|=0
满足条件，命题“f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为3”为真命题

（3）∵f(x)=|x^2-2x-3|对称轴为直线x=1
且易得在x∈[1，3]上，f(x)单调递减，在x∈[3,+∞）上单调递增
∴f(x)在（1，+∞）上单调不唯一
∴命题“f(x)在（1，正无穷）上是增函数”为假命题

（4）∵f(x)=|x^2-2x-3|的图像开口向上，∴f(x)无最大值
∴命题“f(x)有最大值4”为假命题。

希望楼主可以酌情加加分吧，写这么多我也不容易。

Answer 2

1、f(x)=|x^2-2x-3|=|(x+1)(x-3)|,f(-x)=|(-x+1)(-x-3)|=|=|(1-x)(x+3)|,显然f(-x)不等于f(x)，f（x)不是偶函数
2、令x=0,则f(0)=3,所以f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为3
3、令g(x)=x^2-2x-3，则易知函数g(x)的对称轴为x=-b/2*a=-(-2)/2*1=1，与x轴交点为-1，和3。由于a=1>0时，根据函数特性当3>x>1，函数g(x)<0，且是增函数，x>3时，函数g(x)>0，且是增函数，而f(x)=|g(x)|，所以当3>x>1时，f(x)=|g(x)|>0，为减函数，x>3时，函数f(x)=g(x)>0为增函数。 f(x)在（3，正无穷）上才是增函数，f(x)在（1，3）上是减函数
4、f(x)在（3，正无穷）上才是增函数,，增函数没有最大值

Answer 3

第一问直接带入看f(-x)是否等于f(x)就行了。或者直接把图像化出看来看是否关于y轴对称！
第二问看f(0)=|0-0-3|=3就是与y轴交点。

追问

能不能给出个明确答案

追答

就是先画出y=x^2-2x-3的图像在沿y轴向上翻折，从图像上就得到答案了！