Question

定义在R上的函数,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+0.5,且f(0.5)=0,当x>0.5时,f(x)>0,判断函数的单调性

Answer 1

设x1>x2
f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2 +x2) -f(x2) ——把(x1-x2)看做x ,把x2看做y，代入题目中的函数式
=f(x1-x2)+f(x2)+0.5 -f(x2) ——这样变的目的是把消去f(x2)
=f(x1-x2)+0.5
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又x1-x2>0
所以就是要证x>0时，f(x)>-0.5
f(x) （当x>0时）
=f(x-0.5 +0.5) ——代入题中函数式
=f(x-0.5)+f(0.5)+0.5
=f(x-0.5)+0.5 ——题中条件 f(0.5)=0
当x>0时，(x-0.5)>0.5，则f(x-0.5)>0 ——题中条件 当x>0.5时,f(x)>0
所以
=f(x-0.5)+0.5>0
即 f(x)+0.5>0
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这是个小插曲，我们继续
=f(x1-x2)+0.5
因为 x1-x2>0 ，所以 f(x1-x2)+0.5>0
即 f(x1)-f(x2)>0
函数在R上单调地增

PS：如果是选择题，可找一个满足条件的特殊函数，如f(x)=x-0.5

Answer 2

解答见图：

Answer 3

fff

追问

什么fff?