Question

已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3,若函数y=f(x)在R上为单调增函数,求a的取值范围

Answer 1

当x<a时，f(x)=-x^2+(2+a)x-3 （1）
当x>=a时，f(x)=x^2+(2-a)x-3 （2）
由f(x)在整个R上递增，则
(1)的对称轴 (2+a)/2>=a 得a<=2
(2)的对称轴 -(2-a)/2<=a 得a>=-2
所以a的取值范围为[-2,2]
从图像可知，开口向下的，小于等于对称轴的是递增的
开口向上的，大于等于对称轴的是递增的！

Answer 2

当x>=a时，f(x)=x^2-ax+2x-3 为增函数
所以 f'(x)=2x-a+2>0, x>a/2-1 恒成立
得a/2-1<=a, a>=-2
当x<a时，f(x)=-x^2+ax+2x-3为增函数
所以f'(x)=-2x+a+2>0, x<a/2+1 恒成立
得a/2+1>=a, a<=2
综合得a的取值范围为-2<=a<=2