Question

设x,y,z都是正数，求证2/(x+y)+2/(y+z)+2/(z+x)>=9/(x+y+z)

Answer 1

证法一：
由柯西不等式，有：
［1/（x＋y）＋1/（y＋z）＋1/（x＋z）］［（x＋y）＋（y＋z）＋（x＋z）］≧（1＋1＋1）^2
∴2（x＋y＋z）［1/（x＋y）＋1/（y＋z）＋1/（x＋z）］≧9，
∴2/（x＋y）＋2/（y＋z）＋2/（x＋z）≧9/（x＋y＋z）。

证法二：
不失一般性，令x≦y≦z，则：1/（y＋z）≦1/（x＋z）≦1/（x＋y）。
由排序不等式：顺序和大于乱序和。有：
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧x/（x＋z）＋y/（x＋y）＋z/（y＋z），
x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧z/（x＋z）＋x/（x＋y）＋y/（y＋z），
上述两式相加，得：
2［x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）］≧3，
∴x/（y＋z）＋y/（x＋z）＋z/（x＋y）≧3/2，
∴［1＋x/（y＋z）］＋［1＋y/（x＋z）］＋［1＋z/（x＋y）］≧3/2＋3＝9/2，
∴（x＋y＋z）/（y＋z）＋（x＋y＋z）/（x＋z）＋（x＋y＋z）/（x＋y）≧9/2，
∴2/（x＋y）＋2/（y＋z）＋2/（x＋z）≧9/（x＋y＋z）。

Answer 2

证明：
因为 [2/(x+y)+2/(y+z)+2/(z+x)]*[(x+y)+(y+z)+(z+x)]
>=(√2+√2+√2)^2 (柯西不等式）
=18
所以 2/(x+y)+2/(y+z)+2/(z+x)>=18/[(x+y)+(y+z)+(z+x)]=9/(x+y+z)