Question

初中数学题(急啊~~）

6. (本题10分)已知函数y=x2+2x-1（t<=x<=t+1)
（1）若此函数的最小值为M,求M关于t的函数表达式；
（2）当t为某一正整数n时，求函数值y可以取得的所有正整数的和。

Answer 1

1) y=f(x)=x^2+2x-1=(x+1)^2-2
故对称轴x=-1，画个图比划比划
M=f（t)=t^2+2t-1 (t>-1)
M=f(t+1)=t^2+4t+2 (t<-2)
M=f(-1)=-2 (-2<=t<=-1)
分段函数
2)当t为某一正整数n时,t>-1
M=f(t)=t^2+2t-1=(t+1)^2-2
最大值max=f(t+1)=t^2+4t+2=(t+2)^2--2
取t=n,则函数值y可以取得的所有正整数就是
f(n)<=y<=f(n+1),即
(n+1)^2-2<=y<=(n+2)^2-2，一共（n+2)^2-(n+1)^2=2n+3个数
但是每个数都可以拆成一个正整数（也就是0、1、2、3.。。。。2n+3)+(n+1)^2-2的和
故所求和=
[(n+1)^2-2]*(2n+3)+1+2+3+.......+(2n+3)
=[(n+1)^2-2]*(2n+3)+(2n+3)(n+2)
=(n^2+3n+1)(2n+3)
=2n^3+9n^2+11n+3
其中公式1+2+3+.......+n=n(n+1)/2

Answer 2

1)解：y=x²+2x-1
=x²+2x+1-2
=（x+1)²-2
当X=-1时，Y有最小值=-2
∴M=-2