Question

1.已知x,y满足{x≥1，x-y≤0，x+2y-9≤0}，若Z=ax+y仅在（3,3）处取得最小值，求a的范围

2.已知数列{an}中,a1=1,a1+2*a2+…+n*an=(n+1)/2*a(n+1)
(1)求an
(2)求数列{n²*an}前n项和
3.设数列{an}前n项和Sn,a1=1,an=Sn/n+2*(n-1)
(1)求证{Sn/n}为等差数列
(2)设数列{1/an*a（n+1)}前n项和为Tn，证1/5≤Tn＜1/4

Answer 1

1.已知x,y满足{x≥1，x-y≤0，x+2y-9≤0}，若Z=ax+y仅在（3,3）处取得最小值，求a的范围

又图知，

-a＞1

所以，

a＜-1

2.已知数列{an}中,a1=1,a1+2*a2+…+n*an=(n+1)/2*a(n+1)

(1)求an

n≥2时，

a1+2*a2+…+n*an=(n+1)/2*a(n+1)

a1+2*a2+…+(n-1)*a(n-1)=n/2*an

所以，两式相减得

n*an=(n+1)/2*a(n+1)-n/2*an

即3n*an=(n+1)*a(n+1)

所以{n*an}为等比数列

1*a1=2/2*a2所以，a2=1

所以，2*a2=2

所以，n*an=2*3^(n-2)

所以，

an=[2*3^(n-2)]/n,n≥2

an=1,n=1

(2)求数列{n²*an}前n项和

n²*an=[2n*3^(n-2)],n≥2

n²*an=1,n=1

Sn=1+2[2*3^0+3*3^1+4*3^2+……+n*3^(n-2)]

所以，两边同乘以3得到

3Sn=3+2[2*3^1+3*3^2+4*3^3+……+n*3^(n-1)]

两式相减得到

2Sn=2+2[-2*3^0-3^1-3^2-……-3^(n-2)+n*3^(n-1)]

所以，

Sn=1-2*3^0-3^1-3^2-……-3^(n-2)+n*3^(n-1)

=-3^0-3^1-3^2-……-3^(n-2)+n*3^(n-1)

=-(3^(n-1)-1)/2+n*3^(n-1)

=(n-1/2)*3^(n-1)+1/2

3.设数列{an}前n项和Sn,a1=1,an=Sn/n+2*(n-1)

(1)求证{Sn/n}为等差数列

由题知，

an=Sn/n+2*(n-1)

由Sn-S(n-1)=an

得Sn-S(n-1)=Sn/n+2*(n-1)

合并得到

(n-1)Sn/n-S(n-1)=2*(n-1)

两边同除以(n-1)得到

Sn/n-S(n-1)/(n-1)=2

所以，

{Sn/n}为等差数列

(2)设数列{1/an*a(n+1)}前n项和为Tn，证1/5≤Tn＜1/4 

S1/1=a1/1=1

Sn/n=2n-1

所以，Sn=2n2-n

所以，an=Sn-S(n-1)=2(2n-1)-1=4n-3

所以。

1/[an*a(n+1)]=1/[(4n-3)(4n+1)]

=(1/4)*[1/(4n-3)-1/(4n+1)]

所以，

Tn=∑[1/[an*a(n+1)]

=(1/4)*∑[1/(4n-3)-1/(4n+1)]

=(1/4)*[1-1/(4n+1)]

Tn是关于n的增函数

所以，

T1≤Tn＜lim(n→∞)Tn

而

T1=(1/4)*[1-1/(4*1+1)]=1/5

n→∞时，Tn=1/4*[1-0]=1/4

所以，

1/5≤Tn＜1/4