Question

已知函数f(x)=((2a+1)/a)-(1/(xa^2)),常数a>0

(1)设m*n>0,证明：函数f(x)在【m,n】上单调递增;
(2)设0<m<n,切f(x)的定义域和值域都是【m,n】，求n-m的最大值

Answer 1

（1）所给函数f(x)=((2a+1)/a)-(1/(xa^2))=2+1/a-1/a^2*1/x，是b-c/x（b、c>0）的形式，增减性用定义自己算一下应该不难。
（2）根据单调性有，f(m)=m，f(n)=n，即m、n是方程f(x)=x的两个相异实根。
f(x)=x，即2+1/a-1/a^2*1/x=x，x^2-(2+1/a)+1/a^2=0，
Δ=(2+1/a)^2-4*1/a^2；令Δ>0的，a>1/2（a>0，舍去a<-3/2）。
由韦达定理，m+n=2+1/a，m*n=1/a^2，
所以n-m=√[(n-m)^2]=√[(n+m)^2-4m*n]=√[(2+1/a)^2-4/a^2]
=√[4+4/a-3/a^2]=√[4+4/3-3*(1/a-2/3)^2]≤√[4+4/3]=4/√3，
等号当且仅当1/a=2/3，即a=3/2时成立，故n-m的最大值为4/√3。