Question

若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=2,c>0,求证:|a|+|b|≥2

Answer 1

由a+b+c=0，abc=2，可知，a，b，c中有一个正数，两个负数
又c>0，所以a<0，b<0
所以 |a|+|b|=-(a+b)=c
由于c=|a|+|b|>=2√|ab|=2√(2/c)
所以 c^2>=4*2/c=8/c
c^3>=8
c>=2
也即 |a|+|b|最小值为2（a=b=-1,c=2时取）
即≥2

Answer 2

证明：由abc=2，c>0 可知 a，b，c均不为0，且a，b均为负数或均为正数
又 a+b+c=0，c>0 可知a，b为一正一负或都为负
综上可知a，b均为负数。
则有 a+b＝-c，且ab=2/c
根据韦达定理知，a，b看成是方程x^2+cx+2/c=0的两个根，又a，b是实数，
因此上述方程的判别式
△=c^2-8/c≥0 因为 c>0，所以c^3 ≥ 8， c≥2
所以|a|+|b|=|a+b|=c ≥2

Answer 3

a+b=-c
ab=2/c
则a,b为x^2+cx+2/c
Δ=c^2-8/c>=0
c>=2
则a+b<=2
-a-b>=2
又c>0则a+b<0,ab>0,则a<0,b<0
则|a|+|b|＝－a-b>=2

Answer 4

a＋b=－c
ab=2/c
则：a、b是方程x²＋cx＋(2/c)=0的根，则此方程的判别式△=c²－8/c≥0，则：c³≥8，得：c≥2
|a|＋|b|≥|a＋b|=|c|≥2
得证。