Question

关于极限大一高数的几个问题

1.“对任意给定的&属于（0,1），总存在正整数N，当n>=N时，恒有|Xn-a|<2&”是数列{Xn}收敛于a的（）条件 答案是充要条件 求解释！为什么是2&不是&呢？给定&的范围死什么意思？
2.用定义证明lim1/(n^2 -1)=0
n趋近于无穷
谢谢各位了！！讲的好可以追加财富！！！

Answer 1

1. （1）首先“|Xn-a|<2&”与“|Xn-a|<&”表述的效果是一样的。你这样来看，对任意给定的&，如果当n>=N时，有|Xn-a|<2&，而按照极限的定义，要满足|Xn-a|<&才行；你把之前任意给定的&换成任意给定的&/2（就是把&/2看成一个整体），那么这个&/2也存在对应的正整数N'，当n>=N'时，恒有|Xn-a|<2*(&/2)=&，它的意思就是数列{Xn}收敛于a，所以是充要条件。其实只要是个常数乘以&都是一样的。
（2）至于&属于（0,1），按照极限定义，这个&只要大于零就行。那么如果你任取的&本来属于（0,1），自然没问题了；如果你任取的&大于等于1，那么最后的式子|Xn-a|<&<&'（&'是属于任取的0到1的那个）。所以对&限定缩小后的范围，对极限的定义是没有影响的。
（第1题我想说的详细点，可能有点啰嗦。）
2. 我只说思路，具体你完全可以自己写出来。
就是要让1/(n^2 -1)<&，也就是(n^2 -1)>1/&，算出那个n的范围，往大的方向取个整数，就是N。这个N不需要算得很精确，保证不等式成立就行。

追问

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Answer 2

1、
2&也对，&也对，只要能证明存在N，对任意n≥N，任意的δ＞0，|Xn-a|＜δ即可。
2、
（省去lim）
[ 1/(n^2-1) - 0 ] = 1/(n^2-1) ，
对任意的δ＞0，限制|n|＞1，
若满足|1/(n^2-1)|＜δ，
解之，只需n＞1/δ + 1即可，
对任意的δ＞0，存在N＝[1/δ + 1]+1，对任意的n≥N，|Xn-a|＜δ，
完成证明。
注：[x]表示对x取整，
例如0.3取1。56.6取57。

追问

哦 谢谢

追答

加了

Answer 3

1）&的意思是默认为小于任意给定的正数，反正就是无限趋近于零的意思，那么|Xn-a|<2&可以想象2&任然是小的不能再小的正数，也可能是为了好算把，当然是冲要条件了给定&的范围就是为了迷惑你的，实际它是于零无限接近的
2）对任意的e，总存在N=[1+1/(2e)](取整）,使得当n>N时，总有
1/(n^2 -1)=1/2[1/(n-1)-1/(n+1)]<1/[2(n-1)]<e
故。。。。。=0

Answer 4

1.给定的ε其实质为任意小的数,而2ε自然也是任意小的数,本题即考查极限定义中对任意小的ε的理解.---------------------其实100ε也是任意小.

2.对任意给定的ε属于（0,1），只需取正整数N = [根号X]+1 即可(其中X=1/ε+1).------之后用定义照套就行啦.