Question

一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）：

如图，点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点，
求证 ： AE 、BF 、CD相交于同一点 G ，且 GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3
(点 G 叫做△ABC的重心）。

Answer 1

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则：E((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)
则：G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
则：向量AG=((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)－(x1，y1)
=((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)－((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
=((x2＋x2－2x1)/6，(y2＋y3－2y1)/6)
=(1/2)((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
=(1/2)AG ====>>>>> 向量AG=(2/3)向量AE ===>> |AG|：|AE|=2：3
其余几个同理可证。

追问

这一步是怎么得来的？能给详细说说吗？谢谢了 G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)

追答

这就是重心坐标计算公式。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因：AM=(1/3)[AB＋AC]，而：AB=(x2－x1，y2－y1)，
AC=(x3－x1，y3－y1)，若设M(x，y)，则AM=(x－x1，y－y1)，代入计算，就可以得到：
x=(x1＋x2＋x3)/3，y=(y1＋y2＋y3)/3，即：G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)

Answer 2

平面几何做法

证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。

向量做法
证明：在平面上任取一点O,
设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OE=1/2（b+c),向量OD=1/2(a+b),向量OF=1/2(c+a).
再设G为AE上的三等分点，满足向量AG=2向量GE，
则向量OG=1/3向量OA+2/3OE=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，G也是BF，CD的三等分点，
因此三条中线交于点G。
且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3

Answer 3

既然要用向量法，又是证明题，那就有简明的办法。
就以各顶点的符号代表它们所在的位置向量，那么由中点公式得
D=(A+B)/2, E=(B+C)/2, F=(C+A)/2.
设G=(A+B+C)/3，容易验证(A+2E)/3=(B+2F)/3=(C+2D)/3=G
故所设G同时在直线AE、BF和CD上，即AE，BF，CD相交于同一点G。
由定比分点公式知，G同时是线段AE，BF，CD的三等分点，GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3。

Answer 4

设AE,BF交于G
AE = AB/2+AC/2,
BF=AF-AB=AC/2-AB
设AG = λAE, BG = μBF, 则
CG = AG - AC = λAE-AC = (λ/2)AB - (1-λ/2)AC, ①
CG = BG - BC = μBF - (AC-AB) = (1-μ)AB - (1-μ/2)AC, ②
由①②得：
1-μ = λ/2
1-μ/2 = 1-λ/2
所以: μ=λ=2/3, ③
此时：
CG = (1/3)AB - (2/3)AC
又CD = CA/2+CB/2 = -AC/2+(AB-AC)/2 = (1/2)AB - AC,
所以: CG = (2/3)CD, ④
所以CD过点G, 即：AE 、BF 、CD相交于同一点 G
由③④得：GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3

Answer 5

设CD、BF相交于G，连接并延长AG到P，使GP=AG，交BC于D；

连接PB、PC，

则DG为三角形ABP的中位线、GF为三角形APC的中位线，

所以 PB平行于DC、PC平行于BF，

于是知四边形BPCG为平行四边形，故BC与GP互相平分，即D为BC的中点，AD为BC的中线，

所以三角形三边的中线交于一点G.

又 DG=PB/2=CG/2，故 CG=2DG，

所以 CG/CD=CG/(/CG+DG)=2DG/(2DG+DG)=2/3，

同理 GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3.

Answer 6

：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。
注：由于在这里不好打向量，记得加上向量符号就好了。
希望被采纳为满意答案。