一道高一数学练习题(属于平面向量范围内):

如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,求证:AE、BF、CD相交于同一点G,且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3(点G叫做△ABC的重心)。... 如图,点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点,
求证 : AE 、BF 、CD相交于同一点 G ,且 GA/AE = GB /BF = GC /CD = 2 /3
(点 G 叫做△ABC的重心)。
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良驹绝影
2011-07-30 · TA获得超过13.6万个赞
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设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则:E((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
则:G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)
则:向量AG=((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)-(x1,y1)
=((x2+x3-2x1)/3,(y2+y3-2y1)/3)
向量GE=((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)-((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)
=((x2+x2-2x1)/6,(y2+y3-2y1)/6)
=(1/2)((x2+x3-2x1)/3,(y2+y3-2y1)/3)
=(1/2)AG ====>>>>> 向量AG=(2/3)向量AE ===>> |AG|:|AE|=2:3
其余几个同理可证。
追问
这一步是怎么得来的?能给详细说说吗?谢谢了  G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)
追答
这就是重心坐标计算公式。
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因:AM=(1/3)[AB+AC],而:AB=(x2-x1,y2-y1),
AC=(x3-x1,y3-y1),若设M(x,y),则AM=(x-x1,y-y1),代入计算,就可以得到:
x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3,即:G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)
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2011-08-01 · TA获得超过1.5万个赞
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平面几何做法

证明:设BF、CD交于点K。取BK中点M,CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN=(1/2)BC
同理DF‖BC且DF=(1/2)BC
∴DF‖MN且DF=MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK=MK
又∵BK=2MK
∴BK=2FK
∴FK=(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理,BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G,则AE、BF、CD交于一点G。

向量做法
证明:在平面上任取一点O,
设向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c
则向量OE=1/2(b+c),向量OD=1/2(a+b),向量OF=1/2(c+a).
再设G为AE上的三等分点,满足向量AG=2向量GE,
则向量OG=1/3向量OA+2/3OE=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证,G也是BF,CD的三等分点,
因此三条中线交于点G。
且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3
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百度网友d9bcfcf
2011-08-10 · TA获得超过2692个赞
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既然要用向量法,又是证明题,那就有简明的办法。
就以各顶点的符号代表它们所在的位置向量,那么由中点公式得
D=(A+B)/2, E=(B+C)/2, F=(C+A)/2.
设G=(A+B+C)/3,容易验证(A+2E)/3=(B+2F)/3=(C+2D)/3=G
故所设G同时在直线AE、BF和CD上,即AE,BF,CD相交于同一点G。
由定比分点公式知,G同时是线段AE,BF,CD的三等分点,GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3。
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spook3658
2011-08-09 · TA获得超过6367个赞
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设AE,BF交于G
AE = AB/2+AC/2,
BF=AF-AB=AC/2-AB
设AG = λAE, BG = μBF, 则
CG = AG - AC = λAE-AC = (λ/2)AB - (1-λ/2)AC, ①
CG = BG - BC = μBF - (AC-AB) = (1-μ)AB - (1-μ/2)AC, ②
由①②得:
1-μ = λ/2
1-μ/2 = 1-λ/2
所以: μ=λ=2/3, ③
此时:
CG = (1/3)AB - (2/3)AC
又CD = CA/2+CB/2 = -AC/2+(AB-AC)/2 = (1/2)AB - AC,
所以: CG = (2/3)CD, ④
所以CD过点G, 即:AE 、BF 、CD相交于同一点 G
由③④得:GA/AE = GB /BF = GC /CD = 2 /3
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闪致sQ
2011-07-30 · TA获得超过1876个赞
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设CD、BF相交于G,连接并延长AG到P,使GP=AG,交BC于D;

连接PB、PC,

则DG为三角形ABP的中位线、GF为三角形APC的中位线,

所以 PB平行于DC、PC平行于BF,

于是知四边形BPCG为平行四边形,故BC与GP互相平分,即D为BC的中点,AD为BC的中线,

所以三角形三边的中线交于一点G.

又 DG=PB/2=CG/2,故 CG=2DG,

所以 CG/CD=CG/(/CG+DG)=2DG/(2DG+DG)=2/3,

同理 GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3.
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sss的1
2011-08-09 · TA获得超过174个赞
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:设BF、CD交于点K。取BK中点M,CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN=(1/2)BC
同理DF‖BC且DF=(1/2)BC
∴DF‖MN且DF=MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK=MK
又∵BK=2MK
∴BK=2FK
∴FK=(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理,BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G,则AE、BF、CD交于一点G。
注:由于在这里不好打向量,记得加上向量符号就好了。
希望被采纳为满意答案。
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