设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,f(x)<>0,f'(0)=1且对任意x,y∈(-∞,+∞), f(x+y)=f(x)f(y)

证明:f(x)在(-∞,+∞)上可导且f'(x)=f(x)... 证明:f(x)在(-∞,+∞)上可导且f'(x)=f(x) 展开
玉米祖师爷
2011-07-30 · TA获得超过1.2万个赞
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令x=y=0有f(0)=f(0)f(0)
所以f(0)=1

对任意x,存在dx,当dx趋近于0时
f(x+dx)=f(x)f(dx)=f(0)f(x)=f(x)
所以f(x)在定义域连续可导

对任意x,给定增量dx,当dx趋近于0时
f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx
=[f(dx)-1]f(x)/dx
=[f(0+dx)-f(0)]/dx f(x)
=f'(0)f(x)
=f(x)
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