Question

设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，f(x)<>0,f'(0)=1且对任意x,y∈（-∞，+∞）, f(x+y)=f(x)f(y)

证明：f(x)在（-∞，+∞）上可导且f'(x)=f(x)

Answer 1

令x=y=0有f(0)=f(0)f(0)
所以f(0)=1

对任意x，存在dx，当dx趋近于0时
f(x+dx)=f(x)f(dx)=f(0)f(x)=f(x)
所以f(x)在定义域连续可导

对任意x，给定增量dx，当dx趋近于0时
f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx
=[f(dx)-1]f(x)/dx
=[f(0+dx)-f(0)]/dx f(x)
=f'(0)f(x)
=f(x)