Question

请问数学的拓扑学、分析学里总是提到紧集合，请问这个紧集合的作用是什么？是不是非常的重要？

我看到很多定理的条件里都有紧集、弱紧集的设定，设置这个条件是为什么？为什么非紧集就不行呢？

Answer 1

紧集是为了保证有限开覆盖的性质成立，从而可以结合其它条件进一步得到良好的性质。
例如聚点定理(Weierstrass 定理)就要求在紧集上才成立，欧氏空间R^n中的紧集就是有界闭集，而容易在欧氏空间中的找出一个无界的集合，使其没有聚点，即聚点定理在无界集合上不成立。