Question

某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造力度

每年原来沙漠的面积16%，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。 （1）设该地区的面积为1，,2002年绿洲面积为a1=3/10 ，经过一年绿洲面积为a2，经过n年面积为a(n+1)，求证a(n+1)=(4/5)an +4/25 . (20求证﹛a﹙n+1﹚-(4/5)是等比数列。 （3）问至少需要经过多少年努力，才使绿洲面积超过60%（lg2=0.3）

Answer 1

这道题的三小题，每一题相当于后一题的提示,一顺做下来并不难。
解：
(1)每年的绿洲面积可看作两部分组成：前一年的绿洲经沙漠化后剩下的，和前一年的沙漠经植树改造出的新绿洲。
也就是a(n+1)=(1-4%)a(n) + 16%(1-a(n)) = 24/25a(n) + 4/25(1-a(n)) = 4/5a(n) + 4/25
(2)根据上一体的结论：a(n+1) - 4/5 = 4/5a(n) + 4/25 - 4/5 = 4/5a(n) -16/25 = 4/5(a(n)-4/5)
这就说明a(n+1) - 4/5为等比数列(写成上式的形式即可得出该结论)
进而得出a(n+1) - 4/5 = (4/5)^n(a(1) - 4/5) = -1/2*(4/5)^n (后一问会用到)
(3)令a(n+1)>=30%
则a(n+1) - 4/5 >= 3/10 - 4/5 = -1/5
根据上题的结论，-1/2*(4/5)^n >= -1/5
所以 (4/5)^n <= 2/5
去对数，则n >= log(4/5)2/5 (这个是log以4/5为底的2/5)
由换底公式可得 n >= lg(2/5)/lg(4/5) = lg(4/10)/lg(8/10) = (lg4 - 1)/(lg8 - 1) = (2lg2 - 1)/(3lg2 - 1) = (0.6-1)/(0.9-1) = 4
所以至少需要4年

PS：不知道你水平，所以写的比较“罗嗦”，觉得好请采纳，好歹打了这么多字。谢谢。