Question

已知函数f(x)=2asin^2x-(2根号3)asinxcosx+a+b的定义域为[0,π/2],值域为[-5,1]，求a b的值？？

Answer 1

2asin^x-2根号3asinxcosx+a+b

=2asin²x-√3a(2sinxcosx)+a+b

=-(a-2asin²x)+a-√3a(2sinxcosx)+a+b

=-acos2x-√3asin2x+2a+b

=-2a[1/2cos2x+√3/2sin2x]+2a+b

=-2asin(2x+π/6)+2a+b

又x∈[π/2，π],

则2x+π/6∈[7π/6,13π/6]

sin(2x+π/6)∈[-1,1/2]

①若a>0

则值域是[a+b,4a+b]

有a+b=2 4a+b=5

得a=b=1

②若a<0

则值域是[4a+b,a+b]

有4a+b=2 a+b=5

得a=-1 b=6

Answer 2

2asin^2x=a（1-cos2x），-(2根号3)asinxcosx=-（根号3）asin2x
f(x)=-（1/2）a（（1/2）cos2x+（2分之根号3）sin2x）+2a+b
f(x)=-（1/2）a（sin（2x+π/6））+2a+b

追问

???? 详解…………

追答

2x+π/6=π/2，x=π/6，在[0,π/2]内。
2x+π/6=3π/4，x=7π/24，在[0,π/2]内。
x=π/6时，f(x)=-（1/2）a（sin（2x+π/6））+2a+b =（3/2）a+b=1
x=7π/24时，f(x)=-（1/2）a（sin（2x+π/6））+2a+b=（5/2）a+b=-5
两式一代a=-6，b=10