Question

高等数学题，微积分中对斯托克斯公式的理解，纠结中。。。

在利用这个公式对曲面积分时，如果曲线是椭球面和平面的交线，那么对面积积分是对截得的平面部分积分，还是对截得的椭球面积分？请说明原因，谢谢
如果从所给的这道题的解答来看，面积元素ds好像只能是对平面的，但是斯托克斯公式中好像只是说是曲线围成的曲面？

Answer 1

首先你要明确一点，stokes公式给出的是一条空间封闭曲线上的第二类曲线积分和它围成的曲面上的第二类曲面积分之间的关系，而且曲线和被积函数都有相应的光滑性要求。只要你能够区分第一类和第二类曲面积分的不同处和计算方法，你的问题就差不多能解决了。
一般来说，第二类曲面积分是可以转化成一个第一类曲面积分，进而或者直接化为二重积分来进行计算的，所以你要看清楚你使用的那个公式是具体转化到哪一步的形式。你所说的面积元素dS即可以是转化成第一类曲面积分之后的无向面积微分，也可能是第二类曲面积分中的有向面积微分。无论是哪一种，它们都可以用来表示曲面，而不仅仅是平面，你理解的针对平面的，我想那应该是转化为二重积分之后的形式了。
回到stokes公式本身，“斯托克斯公式中好像只是说是曲线围成的曲面”，这里所说的就是最原始的第二类曲面积分的形式，通过简单的推导你就能发现，无论是对截得平面还是对截得椭球面其第二类曲面积分的结果是相同的，具体选择哪一个就要根据实际问题的计算复杂性了，一般来说是平面简单，也许特殊情形下椭球面会更简单，这里是没有定论的。

Answer 2

曲面只要以这条曲线为边界即可，选平面还是椭球面都行。这里选择平面上这一部分会使得计算简单

Answer 3

都可以，只是方向不同，一般来说题目或者工程上的都是考虑曲面。因为斯托克斯公式中关键的一点就是考虑空间三维的曲线是否闭合，同时在该曲线所围成的去面上是否每一个点都可导。

Answer 4

对截得的椭球面积分