Question

高中数学 数列 高手进

给定正整数n和正数M,对于满足条件A(1)²+A(n+1)²≤M的所有等差数列A(1)，A(2)，A(3),……，试求：
⑴ S=A(1)+A(2)+A(3)+…+A(n+1)的最大值；
⑵ T=A(n+1)+A(n+2)+…A(2n+1)的最大值.
【注】A(n)指a下标n
看不懂的见图https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%D1%A9%C9%BD%BD%A3%BF%CDty/pic/item/30250ff04f9321bef2d385bf.jpg

Answer 1

我来试试吧....

解：(1)由柯西不等式得
（A1 + An+1)²≤(1+1)(A1²+ An+1²)≤2M
故A1 + An+1≤(2M)^(1/2)
等差数列性质得
S=Sn+1=1/2(n+1)[A1 + An+1]≤1/2(n+1)(2M)^(1/2)
当且仅当A1=A2=...=An+1=(M/2)^(1/2)取等
(2)设等差数列{An},A1=a,公差为d
a²+（a+nd)²≤M
设X=a,Y=a+nd，T=1/2(n+1)[An+1 + A2n+1]
=1/2(n+1)[2a+3nd]=1/2(n+1)[3Y-X]
令Z=3Y-X,原题转化为 X²+Y²≤M，求Z的最大值...(线性规划问题)
（做出图像...这里图像不大好做...做出Y=3X后平移...直至相切点位最大取值)
这里给出代数做法...）
由图像知，最大值在边界上取
设z=Z/(m)^(1/2),x=x/(m)^(1/2)=cost,y=y/(m)^(1/2)=sint
z=3sint-cost t∈[-π,π]
z'=3cost+sint=0 得 t*=arctan(-3)
当-π<t<t*,z'>0; t*<t<π,z'<0
z(max)=z(t*)=(10)^(1/2)
此时，a=3/(10)^(1/2), b=-1/(10)^(1/2)
Z(max)=(10M)^(1/2)
故T≤1/2(n+1)(10M)^(1/2)
当且仅当a=-(M/10)^(1/2),d=2/n(M/5)^(1/2)取等

Answer 2

(1)
∵a(1)+a(n+1)≤√(2*(a(1)^2+a(n+1)^2))=√(2*M)
（均值不等式(a+b)/2≤√((a^2+b^2)/2)）
∴
S=a(1)+a(2)+...+a(n+1)
=(n+1)*(a(1)+a(n+1))/2
≤(n+1)*√(M/2)
(2)
∵(3a(n+1)-a(1))^2≤(a(n+1)^2+a(1)^2)*(3^2+(-1)^2) 即3a(n+1)-a(1)≤√(10*M)
（柯西不等式(a1*b1+a2*b2)^2≤(a1^2+a2^2)*(b1^2+b2^2)
∴
T=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n+1)
=(n+1)*(a(n+1)+a(2n+1))/2
=(n+1)*(3*a(n+1)-a(1))/2
≤(n+1)*√(10*M)/2
=(n+1)*√(5*M/2)

Answer 3

A(1)^2+A(n+1)^2大于等于(A(1)+A(n+1))^2/2,所以A(1)+A(n+1)≤根号下（2M）.
S=A(1)+A(2)+...+A(n+1)=(n+1)(A(1)+A(n+1))/2=(n+1)倍根号下(2M)再除以2

Answer 4

什么时候的事了