Question

已知函数f(x)为偶函数,且关于直线x=1对称,当x∈[1,2]时,f(x)=2-x

⑴求证f(x)是周期函数
⑵x∈[2k-1,2k+1]，k∈Z时，函数f(x)的表达式

Answer 1

关于 x=1对称，说明 f(1+t) = f(1-t)
取t = -x-1 ，即可得到 f(-x) = f(2+x) 由于是偶函数，所以f(-x)=f(x)
因此 f(x+2) = f(x) t取遍所有实数时，x也能任意取遍所有实数，所以f(x+2) = f(x)是恒成立的，
根据周期函数的定义， f(x)是周期函数，2可以是它的周期

x∈[2k-1,2k+1]，我们分类讨论
(1)x∈[2k-1,2k]时，x-2k+2∈[1,2]，所以f(x-2k+2)=2-(x-2k+2)=2k-x
由于2是周期 ,所以这时候f(x) = f(x-2k+2) = 2k-x
(2)x∈[2k,2k+1]时, x-2k-2∈[-2,-1]，所以-(x-2k-2)∈[1,2]，
由于是偶函数，也是周期函数，所以 f(x) = f(x-2k-2) = f(-(x-2k-2))
-(x-2k-2)∈[1,2] 可知 f(-(x-2k-2)) = 2 - ( -(x-2k-2)) = x-2k

综上：若x∈[2k-1,2k] 则f(x) = 2k-x；若x∈[2k,2k+1],则f(x)=x-2k