Question

已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数。(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性（3)

（3)对于任意的t属于R,不等式f（t^2-2t）+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

⑴由奇函数知f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则有f(0)＝0，从而a＋[1/(4^0＋1)]＝0，得：a＝－1/2
⑵由⑴知f(x)＝－1/2＋[1/(4^x＋1)]，设x1＜x2，则：
f(x1)－f(x2)＝1/(4^x1＋1)－1/(4^x2＋1)＝(4^x2－4^x1)/[(4^x1＋1)(4^x2＋1)]
由f(x)＝4^x的单调性易知4^x2－4^x1＞0，从而f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
故函数在R上单调递减
⑶由f(t^2－2t)＋f(2t^2－k)＜0得：
f(t^2－2t)＜－f(2t^2－k)＝f(k－2t^2)
上式恒成立则必有：t^2－2t＞k－2t^2对任意t属于R都成立
3t^2－2t－k＞0在x属于R上恒成立
从而△＝4＋12k＜0
故k＜－1/3