Question

已知集合P={x|根号2 +1≤x≤3} M={x|x^2-(a+1)x+a≤0}N={y|y=x^2-2x,x∈P}且M∪N=N,a的范围

详解

Answer 1

N={y|,y=x^2-2x x∈P}
其中y=x^2-2x=(x-1)^2-1
开口向上，对称轴为x=1
所以在根号2 +1≤x≤3时是增函数
所以N=[1，3]
M∪N=N说明M是N的子集
M={x|x^2-(a+1)x+a≤0}={x| (x-1)(x-a)≤0}
当a=1时，M={1}满足M是N的子集，适合题意
当a>1时M=[1，a]要使M是N的子集，则需a≤3
故1<a≤3
当a<1时M=[a，1]不满足M是N的子集，不合题意
综上所述1≤a≤3

Answer 2

1+根号2<=a<=3+根号2

追问

详解

追答

因为集合N中x∈P，而M∪N=N,说明集合M∈集合N。
进一步推出

Answer 3

N={y|y=x^2-2x,x∈P}说明函数y=x^2-2x的定义域为根号2 +1≤x≤3，y=x^2-2x=（x-1）^2-1，显然y的取值范围为1<=y<=3,所以N={y|1<=y<=3}，M∪N=N，说明M是N的子集，即不等式x^2-(a+1)x+a≤0的解为1<=y<=3的一部分，说明f（1）>=0,f(3)>=0,从而解得a<=3，即a的范围为a<=3