Question

请求数学高手帮忙解几道不定积分的题，这几道题是我作专题训练剩下不会的，希望高手能够帮忙。

请求数学高手帮忙解几道不定积分的题，这几道题是我作专题训练剩下不会的，希望高手能够帮忙。最好能有详细的过程，谢谢了！急急急急急急

Answer 1

1)
∫e^(-x^2) x^3 dx
u = x^2, du = 2 x dx:
= 1/2 ∫e^(-u) u du
∫f dg = f g- ∫g df
f = u, dg = e^(-u) du,
df = du, g = -e^(-u):
= 1/2 ∫e^(-u) du-(e^(-u) u)/2
∫e^(-u) is -e^(-u):
= -1/2 e^(-u) u-e^(-u)/2+c
u = x^2:
= -1/2 e^(-x^2) x^2-e^(-x^2)/2+c
= -1/2 e^(-x^2) (x^2+1)+c
2)
∫sin^(-1)(x)^2 dx
∫ f dg = f g- ∫g df
f = sin^(-1)(x)^2, dg = dx,
df = (2 sin^(-1)(x))/sqrt(1-x^2) dx, g = x:
= x sin^(-1)(x)^2-2 ∫(x sin^(-1)(x))/sqrt(1-x^2) dx
∫f dg = f g- ∫g df
f = sin^(-1)(x), dg = x/sqrt(1-x^2) dx,
df = 1/sqrt(1-x^2) dx, g = -sqrt(1-x^2):
= 2 sqrt(1-x^2) sin^(-1)(x)+x sin^(-1)(x)^2-2 ∫1 dx
= 2 sqrt(1-x^2) sin^(-1)(x)-2 x+x sin^(-1)(x)^2+c
3)
∫(e^x x)/(1+x)^2 dx
∫f dg = f g- ∫g df
f = e^x x, dg = 1/(x+1)^2 dx,
df = e^x (x+1) dx, g = -1/(x+1):
= ∫e^x dx-(e^x x)/(x+1)
= e^x-(e^x x)/(x+1)+c
= e^x/(x+1)+c
4) -1/2 ln(e^(-2 x)+1)-e^(-x) tan^(-1)(e^x)+C
5) 1/6 (-ln(x^2+x+1)+2 log(1-x)+2 sqrt(3) tan^(-1)((2 x+1)/sqrt(3)))+c
6) ln(x)-1/2 ln(x^2+1)+C
7) 1/4 (ln(1-x)-ln(x+1)-2 tan^(-1)(x))+c
8) (7-5 x)/(x-2)^2+ln(x-2)+C
9) 1/2 x (x+2)+1/3 tan^(-1)((x+1)/3)+C
10) x/(2 x^2+2)+x-3/2 tan^(-1)(x)+C

追问

后几道能不能给个详细的步骤 ，一定重谢啊。

追答

4. ∫(arctan(e^x))/e^x dx:
e^x=u
e^x*dx=du
dx=du/(e^x)=du/u
∫(arctan(e^x))/e^x dx=
∫arctan(u)/u *(du/u)=
∫arctan(u)/u^2 du
分部积分，再替换，拆分就行了。过程自己写，不然训练目的达不到。
5. ∫x/(x^3-1) dx=
∫x/[(x-1)(x^2+x+1)] dx
拆分，一部分替换，之后都比较简单。
6.∫1/[x(x^2+1)] dx
先替换，再拆分
7. 1/(x^4-1)=1/[(x^2-1)(x^2+1)]=1/2(1/(x^2-1)-1/(x^2+1))
8. 拆分成A/(x-2)+B/(x-2)^2+C/(x-2)^3
9.先做多项式除法，之后替换。
10.同上！

Answer 2

这是高数啊，不是有公式吗，套上去化解下，这个别说过程了，打那些个符号都烦，还是自己搞定，或者问下室友同学吧~

追问

呵呵呵 不会了才问的 要是会了就不问了

Answer 3

..........................不是有公式

Answer 4

+_+