Question

一道关于椭圆的题目

椭X^2/4+Y^2/3=1,AB分别是其左右顶点，P是X=4上的动点，若AP与椭圆的交点为A，M；BP与椭圆的交点为B，N，求证：角MBN是钝角。

Answer 1

设P(4,t) ,t≠0
所以 直线PA: y=(t/6)(x+2)
与椭圆方程联立，消y，得：(t^2+27)x^2+4t^2x+4t^2-108=0
因为直线PA与椭圆的交点A(-2,0)已知，而由韦达定理得：x1x2=(4t^2-108)/(t^2+27)
所以 x2=2(27-t^2)/(t^2+27)……………………x1是A点的横坐标，x2是M点的横坐标
将x2代入直线PA的方程，得到M(2(27-t^2)/(t^2+27)，18t/(t^2+27))
证明 角MBN是钝角，需且仅需证明 MBP是锐角
向量BM=(-4t^2/(t^2+27)，18t/(t^+27))
向量BP=(2,t)
BM·BP=10t^2/(t^2+27)>0
所以 MBP是锐角
得证

Answer 2

设P(4，a），a≠0
直线PA为y=(a/6)(x+2) 联立椭圆方程得：(t^2+27)x^2+4t^2x+4t^2-108=0
由韦达定理得x1x2=(4a^2-108)/(a^2+27) x1.x2分别为A.M的横坐标
所以M的横坐标为（54-2a^2）/（27+a^2)，代入直线PA方程得M的纵坐标为18a/（27+a^2）
所以M的坐标为（（54-2a^2）/（27+a^2)，18a/（27+a^2））
同理可得N的坐标为（（2a^2-6）/（3+a^2），-6a/（3+a^2））
所以向量BM为（-4a^2/（27+a^2），18a/（27+a^2））
向量BN为（-12/（3+a^2），-6a/（3+a^2））
所以BM*BN=(48a^2-108a^2）/（27+a^2)(3+a^2)=-60a^2/（27+a^2)(3+a^2)<0
所以角MBN是钝角