Question

函数与映射的概念的区别！！！！！！！！

函数与映射的概念弄不清楚，非空数集与非空集合有什么区别，请举例子说明，为什么说函数是一种特殊的映射？

Answer 1

函数的定义是 非空数集上的一一映射
这里就说出了函数区别映射的两个要点：1、是非空数集；2、一一映射
非空数集和非空集合的区别：集合可以是任何集合，比如｛a,b,c,d,e｝也可以叫集合，中国所有省市的集合也叫集合，但是数集就必须是数的集合，如｛1,2,3｝{3.2,1,2} {x|x>5}等。
为什么说函数是一种特殊的映射？因为函数必须是一一映射，就是定义域D到值域R必须是一一对应的，如y=x^2，是函数，因为一个x值只能得到一个y值；反过来x=sqrt(y)，就不是，因为一个y值，会有两个x值与之对应。
不知这么说你明白了没有

追问

请问｛Ф｝｛0}这是什么集合

追答

先说｛0｝，就是指只含有一个数字0的集合，1，2，3等都不是它的元素，这个好理解。
｛Ф｝就不太好理解，首先你要知道集合的元素也可以是集合，即集合可以嵌套，如｛｛1，2，3｝，｛100，200，300｝｝；Ф表示不含有任何元素的集合，虽然它不含有任何元素，但它也是集合，你可以把Ф想象成｛｝；这样｛Ф｝的意思就相当于｛｛｝｝，说白了｛Ф｝表示的是一个嵌套的集合，只不过它的元素是一个空集。

还有不好意思，我上面说错了，函数未必是一一映射，函数是非空数集上的映射，这是高中课本的定义。

Answer 2

（1）函数一定是映射，映射不一定是函数。映射是函数的引申。 　　（2）映射一边的元素往另一边都有对应就行了，不一定要求另一边都反对应过来，函数则要求两边都能对应满。 　　（3）函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.映射有个特例：满射，即象集中元素没有多余；函数是建立在数集之间的满射。 　　（4）函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。函数是包含在映射里的。

Answer 3

稍微纠正一下，函数不需要是一一映射（即双射），也不需要是单射。
函数与映射的差别仅仅在于前者的象集与原象集都是数集，而后者可以不必。
根据函数的定义，数集到数集之间的映射称为函数（人教版教科书，较早的版本），所以函数是一种特殊的映射。
例子：
函数：f : N→N， k├→2k；（同时也是映射）
映射：g : P(N)→P(N)， X├→X；（P(N)为自然数集N的幂集——即所有子集形成的集合），这是一个恒等映射，但是不是函数。

如果把Ø当成空集的话，{Ø}是一个以空集为元素的集合（集合的集合，更高一个层次的集合，更加抽象一点），它只有一个元素，这个元素就是空集。
{0}是一个数集（以数为元素的集合），它也只有一个元素，这个元素是0。
在中学阶段，0和空集认为是不同的。（学数学基础时，通过皮亚诺公理构造自然数集，其中一种构造方法是把空集看成0，使得不少人对0和空集不加区别，但是两者还是有很大区别的。）

Answer 4

订正一下上面的回答，函数不是一一映射，就举例Y＝X＾2吧，是函数没有问题的，但－2与2都对应了4，所以不是一一映射的。一一映射是这么说的，前提：A到B是个映射，若B中任意的两个像在A中都有不同的原像，则称A到B时个一一映射。

Answer 5

函数是表示取各种关系的总称.
映射是函数的一种特殊表现：它体现出,以下两个方面：它有定义域和值域.