Question

数列an中，a1=1,a(n+1)-2an=(n+2)/(n(n+1)),求a2,a3,a4，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明

Answer 1

求a2，a3，a4你自己求吧。
这个题用数学归纳法比较繁琐，提供一个比较简单的方法供你参考：
a(n+1)-2an=(n+2)[1/n-1/(n+1)]=(n+2)/n-(n+2)/(n+1)=2/n-1/(n+1)
a(n+1)+1/(n+1)=2an+2/n
[a(n+1)+1/(n+1)]/(an+1/n)=2 为定值
a1+1/1=2
数列{an+1/n}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an+1/n=2×2^(n-1)=2^n
an=2^n-1/n
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^n-1/n

^表示指数。

Answer 2

a(n+1)-2an=(n+2)/(n(n+1))=1/(n+1)+2/(n*(n+1))=1/(n+1)+2/n-2/(n+1)=2/n-1/(n+1)

a(n+1)+1/(n+1)=2*(an+1/n)

a1+1/1=2

an+1/n=2^n

an=2^n-1/n