Question

如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸40KM的B处

如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸40KM的B处，乙村到河岸的垂足D与A相距50KM，两村要在此岸边合建一个自来水厂C，从自来水厂到甲村和乙村的水
管费用分别为每千米3a和5a元，现要进行工程费用测算

1求出水管总费用关于水厂C到D的距离的函数关系式

2问自来水厂C建在那里，才能使水管总费用最省

Answer 1

点C在线段AD上，设 CD = x 千米，C到甲和乙的总费用为 ay 元。
已知，AD = 50 千米，BD = 40 千米，
可得：AC = AD-CD = 50-x 千米，BC = √(BD²+CD²) = √(1600+x²) 千米，
则有：C到甲和乙的总费用 ay = 3a(50-x)+5a√(1600+x²) ；
按 x 为未知数，整理得：16x²-6(y-150)x-[(y-150)²-40000] = 0 ，
要使 x 有实根，则判别式 = 36(y-150)²+64[(y-150)²-40000] ≥ 0 ，
整理得：(y+10)(y-310) ≥ 0 ，解得：y ≥ 310（舍去 y ≤ -10 ），
将 y = 310 代入方程，解得：x = 30 ；
则当 x = 30 ，y = 310 时，C到甲和乙的总费用最省，为 310a 元；
即：C建在离D点 30 千米，离A点 50-30 = 20 千米处最省钱。

Answer 2

有图吗？

追问

没