Question

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合，方程f(x)-x=0有实数根，函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1

1.证明f(x)=3x/4+x^3/3(0≤x<1/2)是集合M中的元素；
2.证明：函数f(x)=3x/4+x^3/3(0≤x<1/2)具有下面的性质：对于任意[m,n]∈[0,1/2],都存在Xo∈(m,n)，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(Xo)成立

Answer 1

(1)由题意得3x/4+x^3/3-x=0即x^3/3=x/4,即实根为0，3^(1/2)/2或-3^(1/2)/2又因为0<f'(x)<1得--------_--1/2<x<1/2包含0≤x<1/2所以f(x)=3x/4+x^3/3(0≤x<1/2)是集合M中的元素````````````````````````````(2)f(x)在闭区间[m,n]连续，在开区间(m,n)可导根据拉格朗日中值定理，存在Xo∈(m,n)，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(Xo)成立

Answer 2

(1)实根为0，f(x)'=3/4+x^2,在0、1之间
（2）f(x)在闭区间[m,n]连续，在开区间(m,n)可导根据拉格朗日中值定理，存在Xo∈(m,n)，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(Xo)成立