Question

已知直角三角形中,角C=90°，角A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得三角形PAB是等腰三角形，且符合条件的

已知直角三角形中,角C=90°，角A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得三角形PAB是等腰三角形，且符合条件的点P有几个？正确答案是6个。求过程。

Answer 1

答案为6点。由于所求三角形为PAB等腰三角形，所以，分别有一边作为底边考虑。
第一、这情况最容易想到。当AB为底边时，由于为等腰三角形，故第三点经过其AB中垂线，故作其中垂线，可交得BC AC各一点（点1,2)。此为二点。
第二、当AP为底边时，此时因为BA=BP,故可以为B点为圆心，以R=BA为半径，可分别与BC 、AC交得点（3、4）。
第三、当BP为底边时，同理，由于连长AB=AP,故可以为A点为圆心，以R=AB为半径，可分别与BC 、AC交得点（5、6）。
故可得6点。上面主面以几何作图法示之。具体请动手画一下，就明白啦。

Answer 2

线段AC上有一点角B的平分线；CA延长线上一点，AP等于AB：BC延长线上一点，AP等于AB；还BC延长线上一点，AP等于BP；AC延长线上一点，AB等于BP；CB延长线上一点，BA等于BP。

追问

BC上AP=BP与AB=AP两点重合啊。