Question

解关于x的不等式((a+1)x^2-1)/(ax+1)>x (a>0)

Answer 1

原不等式变形：[(a+1)x^2-1]/(ax+1)－x>0
(x²-x-1)/a(x+1/a)>0
[x-(1+√5)/2][x-(1-√5)/2]/(x+1/a)>0
以下先比较－1/a和（1－√5)/2的大小：
解不等式－1/a>（1－√5)/2 得 a>√5－1
解不等式－1/a<（1－√5)/2 得 0<a<√5－1 (∵a>0)
∴ (i)当 a>√5－1时 （1＋√5)/2>-1/a>(1-√5)/2. 用列表法解得 （1－√5)/2<x<-1/a或x>(1+√5)/2
(ii)当 0<a<√5－1时 （1＋√5)/2>(1-√5)/2>-1/a. 用列表法解得 -1/a<x<(1-√5)/2或x>(1+√5)/2

Answer 2

当ax+1>0时,x>-1/a;此时得到
(a+1)x^2-1>x^2 +x
则ax^2 -x -1>0
解得
x<[1-√(1+4a)]/(2a) 或 x>[1+√(1+4a)]/(2a)
比较[1-√(1+4a)]/(2a)与 -1/a的大小.

当ax+1<0时,x<-1/a;此时得到
(a+1)x^2-1<x^2 +x
则ax^2 -x -1<0
解得
[1-√(1+4a)]/(2a) <x< [1+√(1+4a)]/(2a)
比较[1-√(1+4a)]/(2a)与 -1/a的大小.