Question

高一数学正弦定理一道题

已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且方程x^2-（acosA+bcosB)x+ccosC=0 的两根之和等于两根之积，判断三角形ABC的形状。

Answer 1

【解法1】
由已知得acosA+bcosB=ccosC
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
acosA+bcosB=ccosC
a(b^2+c^2-a^2)/2bc+b(a^2+c^2-b^2)/2ac=c(a^2+b^2-c^2)/2ab
化简后为a^4-2a^2b^2+b^4=c^4
(a^2-b^2)^2=c^4
a^2-b^2=c^2或b^2-a^2=c^2
所以△ABC是直角三角形

【解法2】
∵acosA+bcosB=ccosC
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)
=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B)
∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0
∴cosA=0或cosB=0
∴A=π/2或B=π/2
∴△ABC是直角三角形

Answer 2

acosA+bcosB=ccosC（a/sinA=bsinB=c/sinC)
sinA*cosA+sinB*cosB=sinC*cosC
sin(A+B)=sin[(180-(A+B)]=sinC=sinC*cosC
cosC=1 OR sinC=0
C=π/2
直角三角形ABC
不必转远路

Answer 3

依题有 acosA+bcosB=ccosC，由定理得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,即
sin2A+sin2B=sin2C= -sin(2A+2B),
2sin(A+B)cos(A-B)= -2sin(A+B)cos(A+B),
cos(A-B)= -cos(A+B),
cos(A-B)+cos(A+B)=0,即2cosAcosB=0,
所以得A=π/2或B=π/2,则三角形ABC为直角三角形。

楼上的和差化积公式用错了