Question

证明曲线积分与路径无关:∫(x+y)dx+(x-y)dy {积分上限(2,3),下线(1,1)} 在整个xoy

证明曲线积分与路径无关:∫(x+y)dx+(x-y)dy {积分上限(2,3),下线(1,1)} 在整个xoy面内与路径无关，计算分值

Answer 1

∫ P dx+Q dy
要证明此种积分与路径无关，只需证əQ/əx=əP/əy
令P=x+y,Q=x-y，则
əQ/əx=1=əP/əy
∴曲线积分与路径无关（在整个xoy面内）
∴原积分=∫ (x0,x1) P(x,y0) dx+∫ (y0,y1) Q(x1,y) dy
或 =∫ (x0,x1) P(x,y1) dx+∫ (y0,y1) Q(x0,y) dy
对于本题，有
原积分=∫ (1,2) (x+1) dx+∫ (1,3) (2-y) dy
=[x²/2+x]|(1,2)+[2y-y²/2]|(1,3)
=5/2+0
=5/2
希望我的解答对你有所帮助
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