Question

证明：在任何6个人之间，或者有三个人互相认识，或者有三个人互不认识

Answer 1

这是1947年匈牙利奥林匹克数学竞赛题的第二题。
可以将问题转化成简单图论的方法来解决：用平面上的6个点表示6个人，如果是互相认识的，就用实线连结起来，如果是互相不认识的，就用虚线连结起来。这样问题就转化成：

平面上的6个点，两点间用实线或虚线连结起来，至少存在一个实线三角形，或者至少存在一个虚线三角形。

考虑A、B、C、D、E、F这6个点。
现在将AB、AC、AD、AE、AF用实线连结起来（当然也可以用虚线连结起来）
再考虑BC、CD、BD间的连结情况：
一、如果BC、CD、BD间的连线都是虚线，那么△BCD就是虚线三角形。
二、如果BC、CD、BD间的连线不全是虚线，那么至少有一者是实线，无论哪一者为实线，必然
　　使△ABC、△ACD、△ABD中至少有一者是实线三角形。

综上一、二所述，A、B、C、D、E、F这6个点，无论用实线或虚线怎样连结，不是连结出实线三角形，就是连结出虚线三角形。
∴任何的6个人中，肯定能找出三个人，他们彼此都认识，或者彼此不认识。

Answer 2

“现在将AB、AC、AD、AE、AF用实线连结起来..”
证明方法中这一句不对啊~~如何能确定一定有一个人，全认识或不认识其他5个人呢。

这一步应该：
对于A出发的5条线，因为共有2种线形且5=2X2+1， 因此5线内必定有至少2+1=3 条线 同形。
不妨设AB，AC，AD即为同为实线（或者同为虚线），
再考虑BC、CD、BD间的连结情况：。。。。。