Question

函数f：｛1，2，3｝——｛1，2，3｝满足f[f（x)]=f(x),则这样的函数共有（ ）它的解析是：

为什么
【2】{1，2，3}1和2有原像，{1，2，3}→{1，2}这样就是三对二的映射，满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1，3或2，3有原像，因此此时有6个这样的函数。（x应取任意值等式都成立，这种显然不行）

Answer 1

考虑值域有多少个元素得到对应：
若是3个，则得到f(x) = x
若是2个，则 f(1) = 1,f(2) = 3,f(3) = 3; f(1) = 1,f(2) = 1,f(3) =3;
f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 2; f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 1
f(1) = 2,f(2) = 2,f(3) = 3;
f(1) = 3,f(2) = 2,f(3) = 3;
若是1个，则f(1) = f(2) = f(3) = 1,这样的函数有3个。f(1) = f(2) = f(3) = 2，f(1) = f(2) = f(3) = 3

所以总共10个

Answer 2

6

Answer 3

f[f(x)]=f(x)
则就是：f(x)=x
现在的问题就是映射的问题。
f：A→B，A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，显然B中的某些元素可能没有原像。所有原像的集合就是A，是函数f的定义域，所有像的集合就是值域，显然值域是B的一个非空子集。
题目中，没有说第二个{1，2，3}是值域，那么其中的某些元素没有原像。而第一个{1，2，3}是原像集合，每一个元素都有像与之对应，因此分类讨论的基准就是第二个{1，2，3}哪些元素有原像。
【1】{1，2，3}只有一个元素有原像，比如说1有原像，2.3没有原像。那么就是{1，2，3}→{1}，那么满足f(x)=x的有f(1)=1；当然也可以只有2或者3只有原像，因此这是三对一（三个原像对应一个像）情况，这样的函数有3个。
【2】{1，2，3}1和2有原像，{1，2，3}→{1，2}这样就是三对二的映射，满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1，3或2，3有原像，因此此时有6个这样的函数。
【3】{1，2，3}全部有原像，即他就是值域，{1，2，3}→{1，2，3}，只能是这样的映射{1}→{1}，{2}→{2}，{3}→{3}只有一个这样的函数。【注意：这里f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,三个函数表达式，是一个函数，不是三个函数】

计算函数个数的时候由映射关系来确定。

追问

【2】{1，2，3}1和2有原像，{1，2，3}→{1，2}这样就是三对二的映射，满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1，3或2，3有原像，因此此时有6个这样的函数。
我觉得这种情况不行

Answer 4

9

Answer 5

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Answer 6

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