Question

用拉格朗日中值定理证明：

Answer 1

这个命题是错误的，当然即便修正成对的也跟Lagrange中值定理没什么关系，主要的问题是导函数的连续性通常没有直接保障。
看这个反例：
a=-1，b=1，t非零时f(t)=t^2*sin(1/t)，f(0)=0，这个函数在[-1,0)和(0,1]上分别是光滑的，甚至在[-1,1]上连续。
考察x=0，f(0+0)确实存在，且f(0+0)=0，
那个极限也存在，lim{t->0+} [f(x+t)-f(x+0)]/t = 0，
但是f'(t) = 2tsin(1/t)-cos(1/t)，所以f'(0+0)是不存在的。

Answer 2

这题的条件不严密啊，若要使用拉格朗日定理则必须满足f(x)在区间上可微，题里没说啊~假设满足条件，则由定理得，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ为[a,b]上任意一值。有又因为f(x)在区间上按段光滑，所以f(x+0)=f(x),x为区间上任意一数（相当于ξ），既f(x)存在，题里那个极限是导数的定义，由拉格朗日定理得f'(x)存在