Question

如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD

等边△ACE、等边△BCF．试探究四边形DAEF是平行四边形．
（1）四边形DAEF是矩形，△ABC满足？
（2）四边形DAEF是菱形，△ABC满足？
（3）ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在

Answer 1

三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形
首先我们来证明DAEF为平行四边形
角DBF=60度-角FBA=角ABC
而DB=AB, BF=BC
三角形DBF全等于三角形ABC
所以:DF=AC=AE
同理可证:DA=FE
所以:DAEF为平行四边形

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形
则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度
(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形
则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度
则:角DAE=3*60度=180度
D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:
当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形