Question

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)=1 求a^2/(b+c)+b^2/(a+c) + c^2/(a+b)的值

Answer 1

等式两边乘以(a+b)(a+c)(b+c)，得a(a+b)(a+c)+b(b+a)(b+c)+c(c+a)(c+b)=(a+b)(a+c)(b+c)
(a^3+a^2b+a^2c+abc)+(b^3+b^2a+b^2c+abc)+(c^3+c^2a+c^2b+abc)
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc
两边抵消某些项，得a^3+b^3+c^3+abc=0,a^3+b^3+c^3=-abc
把所求式通分，分母是(a+b)(a+c)(b+c)，分子是
a^2(a+b)(a+c)+b^2(b+a)(b+c)+c^2(c+a)(c+b)
=a^4+a^3b+a^3c+a^2bc+b^4+b^3a+b^3c+b^2ac+c^4+c^3a+c^3b+c^2ab
=a(a^3+b^3+c^3)+b(a^3+b^3+c^3)+c(a^3+b^3+c^3)+abc(a+b+c)
=-abc(a+b+c)+abc(a+b+c)
=0

追问

太麻烦了吧？？你们老师是这样讲的吗？还是你自己想的？有没有简单的？

追答

好像是有另一种解法：
由a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=1得a^2/(b+c)+ab/(a+c)+ac/(a+b)=a,a^2/(b+c)=a-ab/(a+c)-ac(a+b)
同理可得b^2/(c+a)=b-bc/(b+a)-ba/(b+c),c^2/(a+b)=c-ca/(c+b)-cb/(c+a)
三式相加，左边是a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)，右边是
[a-ab/(a+c)-ac/(a+b)]+[b-bc/(b+a)-ba/(b+c)]+[c-ca/(c+b)-cb/(c+a)]
=(a+b+c)-[ab/(a+c)+cb/(c+a)]-[bc/(b+a)-ac(a+b)]-[ca/(c+b)+ba/(b+c)]
=(a+b+c)-b(a+c)/(a+c)-c(b+a)/(b+a)-a(c+b)/(c+b)
=(a+b+c)-b-c-a
=0
两种方法都没错，应该都可以。