Question

一道高二数学题，急急急急急！！！好的加分！

已知函数f(x)的导函数为f ' (x)=5+cosx,x∈(-1,1),且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x^2)<0,则实数x的取值范围是多少？
高手指教，详解拜托，谢谢了
好的加分~~~

Answer 1

知道f(x)=5x+sinx 后 对于f(1-x)+f(1-x^2)<0 这种式子要先看定义域
因为f'(x) 定义域为 (-1,1), 故f(x)定义域也为(-1,1), 所以 -1<1-x<1 且 -1<1-x^2<1
解得 0<x<根号2
再将x=1-x 和x=1-x^2分别代入 f(x)=5x+sinx 得到 4个多项式加和 小于零
恰好 这四个式子的零点均为x=1 进而发现 0<x<1 时 4式全为正 1<x<根号2 时 4式全为负
故得答案为 （1,√2）
这题挺巧或者说不太按套路 一般这种题在得到关于x的不等式后能够确实解出x的范围
而这道题则靠观察 观察出几个式子的零点统一 才能得到答案 但应该说当看到sin(1-x)+sin(1-x^2) 没法化简时就能想到观察法了 所以并不算很难

Answer 2

f（x）=5x+sin(x) f(x)=-f(x) f(x)是奇函数
∵f ' (x)=5+cosx>0,∴f(x)单调递增
-1<1-x<1 -1<1-x²<1
定义域为(1,√2)
f(1-x)+f(1-x^2)<0
f(1-x)<-f(1-x^2)=f(x^2-1)
根据单调递增，得：1-x<x^2-1
解得1<x<2 所以x∈（1，√2）

Answer 3

f（x）=5x+sin(x)
会算了吧？

追问

我也知道这一步然后呢？我怎么算不出来，答案是（1,√2）

追答

我也不知道